Question

【题目】如图所示，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PB=9，DB=12，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB为圆的半径，

∴PB为圆O的切线

（2）解：在Rt△PBD中，PB=9，DB=12，

根据勾股定理得：PD= =15，

∵PD与PB都为圆的切线，

∴PC=PB=9，

∴DC=PD﹣PC=15﹣9=6，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=12﹣r，

根据勾股定理得：（12﹣r）2=r2+62，

解得：r=4.5，

则圆的半径为4.5

【解析】（1）由已知在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB及对顶角相等，得出∠OBP=∠E，再根据垂直的定义证得∠OBP是直角，即可得证。
（2）先在Rt△PBD中根据勾股定理求出PD的长，再根据切线长定理得出PC=PB，再转化到Rt△CDO中根据勾股定理建立方程，即可求出圆的半径。
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．