Question

【题目】如图所示，等腰的周长为，底边为， 的垂直平分线交于点，交于点．

（）求的周长；

（）若， 为上一点，连结， ，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的定义得出AE=BE，则△BEC的周长转化为AE+EC+BC，即求AC+BC，则求出AC即可；（2）作点D关于AC的对称点F，连接AF，FP，BF，此时PD=PF，则DP+BP最小即为PF+BP最小，则当P、B、F共线时DP+BP最小，最小为线段BF的长，此时可求出∠BAF=60°，∠ABF=30°，则可得∠AFB=90°，根据勾股定理求解.

解：（1）∵等腰△ABC周长21，底边BC=5，

∴腰长AB=AC=（21-5）÷2=8，

∵DE为AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴△BEC的周长为BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.

（2）作点D关于AC的对称点F，连接AF，FP，BF，

则当P、B、F共线时DP+BP最小，最小为线段BF的长，

∵∠BAC=∠CAF=30°，

∴∠DAF=60°，且DA=DB=AF=4，

∴△ADF为等边三角形，

∴∠ADF=60°，DF=DB=4，

∴∠DBF=∠DFB=30°，

∴∠AFB=∠AFD+∠DFB=90°，

∴△ABF为直角三角形，,

∴BF==4，

∴PD+BP最小值为．