Question

【题目】如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y1＝ 和y2＝ 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：① ②阴影部分面积是（k1﹣k2）③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM=|k1|=OMAM，S△CON=|k2|=ONCN，所以有；由S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S阴影=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|)=(k1-k2)；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=-k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴S△AOB=S△COB，

∴AE=CF，

∴OM=ON，

∵S△AOM=|k1|=OMAM，S△CON=|k2|=ONCN，

∴，故①正确；

∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，

∴S阴影部分=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|)，

而k1＞0，k2＜0，

∴S阴影部分=(k1-k2)，故②正确；

当∠AOC=90°，

∴四边形OABC是矩形，

∴不能确定OA与OC相等，

而OM=ON，

∴不能判断△AOM≌△CNO，

∴不能判断AM=CN，

∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误；

若OABC是菱形，则OA=OC，

而OM=ON，

∴Rt△AOM≌Rt△CNO，

∴AM=CN，

∴|k1|=|k2|，

∴k1=-k2，

∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确，

故答案为：①②④．