Question

【题目】小明研究二次函数（为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为；④点与点在函数图象上，若，，则.其中正确结论的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．

解： 二次函数=-（x-m）2+1（m为常数）
①∵顶点坐标为（m，1）且当x=m时，y=1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=1上
故结论①正确；
②令y=0，得-（x-m）2+1=0

解得：x=m-1，x=m+1

∴抛物线与x轴的两个交点坐标为A（m-1，0），B（m+1，0）

则AB=2

∵顶点P坐标为（m，1）
∴PA=PB=，
∴

∴是等腰直角三角形

∴函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；

③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且-1＜0
∴m的取值范围为m≥2．

故结论③正确；
④∵x1+x2＞2m
∴＞m
∵二次函数y=-（x-m）2+1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且-1＜0
∴y1＞y2

故结论④正确．
故选：D．