Question

【题目】已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点，则CM的最小值为 ．

Answer 1

【答案】1.2
【解析】解：如图，连接CP． ∵AC=3，BC=4，AB=5
∴∠ACB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，则CM最小，
此时，S△ABC= BCAC= ABCP，
即 ×4×3= ×5CP，
解得CP=2.4．
∴EF=2.4，
∵M为EF中点，
∴CM=1.2
故答案为：1.2．

连接CP，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，则CM最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．