Question

【题目】定义：点M，N把线段AB分割成AM、MN，NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）如图①，已知M、N是线段AB的勾股分割点，AM=6，MN=8，求NB的长；

（2）如图②，在△ABC中，点D、E在边线段BC上，且BD=3，DE=5，EC=4，直线l∥BC，分别交AB、AD、AE、AC于点F、M、N、G．求证：点M，N是线段FG的勾股分割点

（3）在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），点E、F分别在BC、CD上，AE、AF分别交BD于点M、N．
①如图③，若BE= BC，DF= CD，求证：M、N是线段BD的勾股分割点．
②如图④，若∠EAF= ∠BAD，sinβ= ，当点M、N是线段AB的勾股分割点时，求BM：MN：ND的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当NB为最长线段时，

∵M、N是线段AB的勾股分割点，AM=6，MN=8，

∴NB= =10；

当MN为最长线段时，

NB= =2 ，

综上所述，NB的值为10或2 ；

（2）

证明：如图2，∵BD=3，DE=5，EC=4，

∴DE2=BD2+EC2，

∵直线l∥BC，

∴，

∴可设，

∴FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，

∵DE2=BD2+EC2，

∴MN2=FM2+NG2，

∴点M，N是线段FG的勾股分割点；

（3）

解：①证明：如图3，∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BE，AB=BC=CD=DA，

∴△BEM∽△DAM，

∴，

∵BE=BC，

∴BM=DM，BM=BD，

同理可得，DN=BD，

∴MN=BD﹣BM﹣DN=BD，

∵MN2=BD2，BM2+ND2=BD2+BD2=BD2，

∴MN2=BM2+ND2，

∴M、N是线段BD的勾股分割点．

②如图4，将△AND绕点A顺时针旋转，旋转角等于∠BAD，则AD旋转后与AB重合，点N旋转至点K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，连接KM，

∴∠KBM=∠KBA+∠ABM=∠ABC，

∵sinβ=，

∴sin∠KBM=，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠KAM=∠NAM，

∵AN=AK，AM=AM，

∴△KAM≌△NAM，

∴KM=NM，

∵点M、N是线段BD的勾股分割点，

∴△KBM是直角三角形，

∵sin∠KBM=，

∴BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．

【解析】（1）分两种情况进行讨论：NB为最长线段；MN为最长线段，分别根据勾股定理进行计算即可；（2）根据BD=3，DE=5，EC=4，可得DE2=BD2+EC2 ， 再根据直线l∥BC，可得 = ，故可设 = = =k，进而得到FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，再根据DE2=BD2+EC2 ， 可得MN2=FM2+NG2 ， 即点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）①先判定△BEM∽△DAM，得出 = ，再根据BE= BC，可得出BM= DM，BM= BD，同理可得，DN= BD，进而得到MN=BD﹣BM﹣DN= BD，再根据MN2=BM2+ND2 ， 可得M、N是线段BD的勾股分割点．②将△AND绕点A顺时针旋转，旋转角等于∠BAD，则AD旋转后与AB重合，点N旋转至点K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，连接KM，先判定△KAM≌△NAM，即可得出KM=NM，再根据点M、N是线段BD的勾股分割点，可得△KBM是直角三角形，再根据sin∠KBM= ，可得BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和图形的旋转，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素即可以解答此题．