Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（﹣1，4），

∴ ，解得： ．

∴所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：依照题意画出图形，如图1所示．

令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，

故A（﹣3，0），B（1，0），

∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．

设AC交对称轴x=﹣1于F（﹣1，yF），

由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，

∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

设点D坐标为（﹣1，yD），

则S△ADC= DFAO= ×|yD﹣2|×3．

又∵S△ABC= ABOC= ×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC，

∴ ×|yD﹣2|×3．=6，解得：yD=﹣2或yD=6．

∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）

（3）

解：如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．

在△EON和△CP′N中， ，

∴△EON≌△CP′N（AAS）．

设NC=m，则NE=m，

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6，

∴当y=3时，x=﹣ ，即点P（﹣ ，3）．

∴P′C=PC= ，P′N=3﹣m，

在Rt△P′NC中，由勾股定理，得： +（3﹣m）2=m2，

解得：m= ．

∵S△P′NC= CNP′H= P′NP′C，

∴P′H= ．

由△CHP′∽△CP′N可得： ，

∴CH= = ，

∴OH=3﹣ = ，

∴P′的坐标为（ ， ）．

将点P′（ ， ）代入抛物线解析式，

得：y=﹣ ﹣2× +3= ≠ ，

∴点P′不在该抛物线上．

【解析】（1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）设点D坐标为（﹣1，yD），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相等，即可得出关于yD含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．根据对称的性质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN=NE，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．