Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴ABCD是菱形

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=2，

∵AB∥CD，AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，

∴AB=DE=2，

∴CE=CD+DE=4，

∵EF⊥BC，∠ECF=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CF= CE=2

【解析】（1）证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，证明四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，得出AB=DE=2，CE=CD+DE=4，在Rt△CEF中，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．