Question

【题目】已知关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2 ， 抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x1|+|x2|=2 ，则a的值为 ．

Answer 1

【答案】-1
【解析】解：∵关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根， ∴ ，
解得：a＜0，且a≠﹣2 ①
设抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，
则α、β是关于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的两个不相等的实数根，
∵△=[﹣（2a+1）]2﹣4×1×（2a﹣5）=（2a﹣1）2+21＞0，
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a﹣5．
∵抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
∴α＜2，β＞2，
∴（α﹣2）（β﹣2）＜0，
∴αβ﹣2（α+β）+4＜0，
∴2a﹣5﹣2（2a+1）+4＜0
解得：a＞﹣ ③
由①、②、③得a的取值范围是﹣ ＜a＜0；
∵x1和x2是关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0的两个不相等的实数根
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∵﹣ ＜a＜0，
∴a+2＞0，
∴x1x2= ＜0．
不妨设x1＞0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=x1﹣x2=2 ，
∴x12﹣2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（ ）2﹣ =8，
解这个方程，得：a1=﹣4，a2=﹣1，
经检验，a1=﹣4，a2=﹣1都是方程（ ）2﹣ =8的根．
∵a=﹣4＜﹣ ，舍去，
∴a=﹣1为所求．
所以答案是﹣1．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．