Question

【题目】如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC∠ADC180°，ABAD，ABAD，点E在CD的延长线上，∠1∠2．

（1）求证：∠3∠E；

（2）求证：CA平分∠BCD；

（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，求证：CE2AF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】分析：（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得．（2）通过三角形全等求得AC=AE，∠BCA=∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E，从而求得∠BCA=∠E=∠ACD即可证得．（3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AF=AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC=2AF．

本题解析：

（1）∵,

∴

在△ABC在△ADE中

∴△ABC≌△ADE

∴

（2）由（1）△ABC≌△ADE 可得

AC=AE ∴

又

∴

∴AC平分∠BCD

（3）过点A作交CE于点M

∵AC平分且∴AF=AM ,

又∵

∴即

又AC=AE ∴

∴△ACM和△ACE都是等腰直角三角形

∴AM=MC=ME=AF, ∴CE=2CM=2AF