Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A=∠DCE，

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠DEC，

∴∠A=∠AEB

（2）证明：∵DC⊥OE，

∴DF=CF，

∴OE是CD的垂直平分线，

∴ED=EC，又DE=DC，

∴△DEC为等边三角形，

∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，

∴△ABE是等边三角形．

【解析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，根据等腰三角形的性质得到∠DCE=∠DEC，等量代换证明结论；（2）根据垂径定理得到OE是CD的垂直平分线，根据题意证明△DEC为等边三角形，证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对圆内接四边形的性质的理解，了解把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．