Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEB；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△ABC∽△DEB；

（2）证明：连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴OB⊥BE，

∴BE是⊙O的切线．

（3）解：∵△BED∽△CBA，

∴ ，

即 = ，

解得：DE= ．

【解析】（1）根据BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出结论；（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．（3）根据△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
【考点精析】利用切线的判定定理和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．