Question

【题目】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，

∵MN⊥AP，

∴MN∥OA，

∵OM∥AP，

∴四边形ANMO是矩形，

∴OM=AN；

（2）解：连接OB，则OB⊥BP

∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．

∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．

∴Rt△OBM≌Rt△MNP，

∴OM=MP．

设OM=x，则NP=9﹣x，

在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2

∴x=5，即OM=5．

【解析】（1）连接OA，由切线的性质可知OA⊥AP，再由MN⊥AP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论；（2）连接OB，则OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP． 设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．