Question

【题目】在求1+3+32+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②﹣①得：3S﹣S=39﹣1，即2S=39﹣1，∴S=．

请阅读张红发现的规律，并帮张红解决下列问题：

（1）爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），应该能用类比的方法求出1+m+m2+m3+m4+…+m2018的值，对该式的值，你的猜想是______（用含m的代数式表示）．

（2）证明你的猜想是正确的．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析.

【解析】

仿照例子，将3换成m，设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2018（m≠0且m≠1），则有mS=m+m2+m3+m4+…+m2018+m2019，二者做差后两边同时除以m-1，即可得出结论．

（1）根据题意知1+m+m2+m3+m4+…+m2018=，

故答案为：；

（2）设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2018 ①，

①×m，得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2018+m2019 ②，

②﹣①，得：（m﹣1）S=m2019﹣1，

∵m≠1，

∴m-1≠0，

则S=．