Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA=　 时，四边形BFDE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）25.

【解析】分析：（1）由菱形的性质得出AB=CB，由等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，证出∠BAE=∠BCF，由SAS证明△BAE≌△BCF即可；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，证出OE=OF，得出四边形BFDE是菱形，证明△OBE是等腰直角三角形，得出OB=OE，BD=EF，证出四边形BFDE是矩形，即可得出结论．

本题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CB，

∴∠BAC=∠BCA，

∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠BCA，

即∠BAE=∠BCF，

在△BAE和△BCF中， ，

∴△BAE≌△BCF（SAS）；

（2）解：若∠ABC=40°，则当∠EBA=25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=∠ABC=20°，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，

∵∠EBA=25°，

∴∠OBE=25°+20°=45°，

∴△OBE是等腰直角三角形，

∴OB=OE，

∴BD=EF，

∴四边形BFDE是矩形，

∴四边形BFDE是正方形；

故答案为：25．