Question

【题目】如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标是2．点P在直线AB上方的抛物线上，过点P分别作PC∥y轴、PD∥x轴，与直线AB交于点C、D，以PC、PD为边作矩形PCQD，设点Q的坐标为（m，n）．

（1）点A的坐标是 ， 点B的坐标是；
（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（3）求m与n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（4）请直接写出矩形PCQD的周长最大时n的值．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣2，0）；（2，2）
（2）

解：由题意，得 ，

解得

所以，这条抛物线所对应的函数关系式为y=﹣ x2+ x+3；

（3）

解：∵点Q的坐标为（m，n），

∴ x+1=n，

解得x=2n﹣2，

所以，点C的坐标为（2n﹣2，n），

点D的坐标为（m， m+1），

∴点P的坐标为（2n﹣2， m+1），

将（2n﹣2， m+1）代入y=﹣ x2+ x+3，得﹣ ×（2n﹣2）2+ ×（2n﹣2）+3= m+1，

整理得，m=﹣4n2+10n﹣2，

所以，m，n之间的函数关系式是m=﹣4n2+10n﹣2；

（4）

解：∵C（2n﹣2，n），P（2n﹣2， m+1），Q（m，n），

∴PC= m+1﹣n，CQ=m﹣（2n﹣2）=m﹣2n+2，

∴矩形PCQD的周长=2（ m+1﹣n+m﹣2n+2），

=3m﹣6n+6，

=3（﹣4n2+10n﹣2）﹣6n+6，

=﹣12n2+24n，

=﹣12（n﹣1）2+12，

∴当n=1时，矩形PCQD的周长最大．

【解析】解：（1）令y=0，则 x+1=0，
解得x=﹣2，
所以，点A（﹣2，0），
∵点B的横坐标是2，
∴y= ×2+1=2，
∴B（2，2）；
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．