Question

【题目】如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM，交x轴于点N，点D为OA的中点．

（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）求线段ON的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，

得OB=3，⊙M的半径为1.5；

∵BM=CM=1.5，

∴∠OBA=∠BCM．

连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点，

∴OD=AD=CD=2，

∴∠OAC=∠ACD，

又∵∠OAC+∠OBA=90°，

∴∠BCM+∠ACD=90°，

∴∠NCD=90°，

∴CD是⊙M的切线．

（2）

解：∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，

∴△NOM∽△NCD，

∴ = ，即 = ，

∴NO= ．

【解析】（1）先根据根与系数的关系求出OB的长，故可得出圆的半径．连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，由D为OA的中点得出OD=AD=CD，故可得出∠OAC=∠ACD，再由∠OAC+∠OBA=90°得出∠BCM+∠ACD=90°，故∠NCD=90°，由此得出结论；（2）根据∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，得出△NOM∽△NCD，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【考点精析】关于本题考查的切线的性质定理，需要了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．