Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，

∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，

∴△EMQ∽△BMH，

∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB与Rt△HFE中，

，

∴△APB≌△HFE，

∴HF=AP；

（2）

解：由勾股定理得，BP=．

∵EF是BP的垂直平分线，

∴BQ=BP=，

∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP=×=．

由1知，△APB≌△HFE，

∴EF=BP=，

∴EQ=EF﹣QF=﹣=．

【解析】（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；
（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)的相关知识才是答题的关键．