Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，射线DP交 于点E，交过点C的切线于点F．
（1）求证：FC=FP；
（2）若∠CAB=30°，当E是 的中点时，判断以A，O，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC

∵CF是⊙O的切线，

∴OC⊥CF，

∴∠FCA+∠ACO=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵PD⊥AB，

∴∠PAD+∠APD=90°，

而∠APD=∠CPF，

∴∠PAD+∠CPF=90°，

∴∠FCP=∠FPC，

∴FC=FP；

（2）解：以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形，

理由如下：

∵∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，从而∠AOC=120°，

∵E是 的中点，

∴∠AOE=∠EOC=60°，

∴△AOE、△EOC均是等边三角形，

∴AE=AO=OC=CE，

∴四边形AOCE是菱形．

【解析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OAC=∠OCA得∠FCP=∠FPC，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△AOE、△EOC均是等边三角形，可得AE=AO=OC=CE，易得以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形．