Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在边AB、CB上，CD=DE，∠CDB=∠DEC，过点C作CF⊥DE于点F，交AB于点G，

（1）求证：△ACD≌△BDE；

（2）求证：△CDG为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意和图形，利用全等三角形的判定可以证明结论成立；

（2）根据题意和（1）中的结论，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定可以证明结论成立．

证明：（1）∵∠CDB=∠DEC，

∴∠ADC=∠BED，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

在△ACD与△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（AAS）；

（2）由（1）知，△ACD≌△BDE，

∴∠ACD=∠BDE，

∵在Rt△ACB中，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠CDG=45°+∠ACD，∠DGC=45°+∠BCG，

∴∠CDF=45°，

∵CF⊥DE交BD于点G，

∴∠DFC=90°，

∴∠DCF=45°，

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠DEC，

∵∠DCE=∠DCF+∠BCG=45°+∠BCG，∠DEC=∠B+∠BDE=45°+∠BDE，

∴∠BCG=∠BDE，

∴∠ACD=∠BCG，

∴∠CDG=∠CGD，

∴CD=CG，

∴△CDG是等腰三角形．