Question

【题目】如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③四边形AO BO′的面积为6+3
④∠AOB=150°；
⑤S△AOC+S△AOB=6+ ．
其中正确的结论是（ ）

A.②③④⑤
B.①③④⑤
C.①②③⑤
D.①②④⑤

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中， ，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=OC=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论④正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′= ×3×4+ ×42=6+4 ，
故结论③错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
∵△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″= ×3×4+ ×32=6+ ，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤．
故选：D．


证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论④正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4 ，故结论③错误；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″ ， 计算可得结论⑤正确．