Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AB=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，运动速度均为1cm/s，点P从点A出发，沿A→B运动，到点B停止，点Q从点C出发，沿C→A运动，到点A停止，连接BQ、CP相交于点D，设点P的运动时间为x（s）．

（1）AP= （用含x的式子表示）；

（2）求证：△ACP≌△CBQ；

（3）求∠PDB的度数；

（4）当CP⊥AB时，直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）x；（2）见解析（3）∠PDB=60°．（4）x=1．

【解析】

试题分析：（1）根据点P的运动时间为x（s），运动速度均为1cm/s，得到AP=x；

（2）利用SAS证明△ACP≌△CBQ；

（3）由△ACP≌△CBQ，得到∠ACP=∠QCB，利用外角的性质∠PDB=∠DBC+∠DCB，即可解答；

（4）当CP⊥AB时，则点P为AB的中点，所以AP=AB=1cm，则x=1．

解：（1）∵点P的运动时间为x（s），运动速度均为1cm/s，

∴AP=x，

故答案为：x．

（2）∵动点P、Q分别从点A、C同时出发，运动速度均为1cm/s，点P从点A出发，沿A→B运动，到点B停止，点Q从点C出发，沿C→A运动，到点A停止，

∴AP=CQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，

在△ACP和△CBQ中，

，

∴△ACP≌△CBQ．

（3）∵△ACP≌△CBQ，

∴∠ACP=∠QCB，

∵∠PDB=∠DBC+∠DCB，

∴∠PDB=∠DCB+∠ACP=∠ACB=60°．

（4）当CP⊥AB时，则点P为AB的中点，

∴AP=AB=1cm，

∴x=1．