Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．

（1）证明：△CFG≌△AEG．

（2）若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，AC=BC，得到AB=AC=BC，求得∠B=60°，于是得到∠BAF=∠BCE=30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据菱形的判断对了得到ABCD是菱形，求得∠ADC=∠B=60°，AD=CD，求得∠ADG=30°，解直角三角形即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB=AC，AC=BC，∴AB=AC=BC，∴∠B=60°，∴∠BAF=∠BCE=30°．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE=CF．在△CFG≌△AEG中， ，∴△CFG≌△AEG；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴ABCD是菱形，∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD．∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD．∵△CFG≌△AEG，∴AG=CG．∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA=GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG=30°．∵AD=AB=4，∴DG==．