Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，CD⊥AB于D，点P是线段CD上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角△PBE，

连接DE ，则DE的最小值为__________．

Answer 1

【答案】1

【解析】连接AE，先证明∠BAE的度数为定值，即∠BAE=∠BCP=45°，再根据垂线段最短，当DE⊥AE时，DE最小，此时三角形ADE是等腰直角三角形，解直角三角形可得.

∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形

∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°

∴ ，且∠CBP=∠ABE

∴△CBP∽△ABE

∴∠BCP=∠BAE

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB

∴∠BCP=45°

∴∠BAE=∠BCP=45°

即∠BAE的度数为定值，

当DE⊥AE时，DE最小，此时三角形ADE是等腰直角三角形，

因为，三角形ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，CD⊥AB

所以，AD=

所以，设AE=DE=x,则由AE2+DE2=AD2得，2x2=2,

解得x=1

所以，DE=1.

故答案为：1