【题目】如图，直线与抛物线相交于A和B（4，n）两点，点P是抛物线位于线段AB上方异于点A，B的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交线段AB于点Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在P点运动过程中，线段PQ的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）直线AB与y轴交于点C，与x轴交于点D，若△PBQ与△ODC相似，求点P的坐标．

参考答案：

【答案】（1）；（2）线段PQ的长的最大值为9，此时P点坐标为（1， ）；（3）点P的坐标为（，－1）或（，6）．

【解析】试题分析：（1）把A、B的坐标代入直线，即可得到m，n的值，从而得到A、B的坐标， 再把A、B的坐标代入抛物线的解析式，解方程即可得到结论；

（2）设点P的横坐标为a，则P（a， ），Q（a， ），用含a的代数式表示出PQ，配方即可得到结论；

（3）分两种情况讨论：①当∠BPQ=90°时，②当∠PBQ=90°时．

试题解析：解：（1）∵A（m，－4）和B（4，n）在直线上，∴， ，解得：m=－2，n=－1，∴A（－2，－4），B（4，－1）， ∴，解得： ， ∴抛物线的解析式为．

（2）设点P的横坐标为a，则P（a， ），Q（a， ），

∴PQ=，∴当时，线段PQ长取得最大值为9，此时P点坐标为（1， ）．

（3）∵PQ∥y轴，∴∠PQB=∠OCD．

∵∠COD=90°，∴当∠PBQ=90°或∠BPQ=90°时，△PBQ与△ODC相似．

①当∠BPQ=90°时，PB∥x轴，∴P点的纵坐标为-1，由得： 或，∴P（，－1）；

②当∠PBQ=90°时，设PB与x轴交于点M，由得：C（0，－3），D（6，0），∴OC=3，OD=6，∴CD=．

∵B（4，－1），∴BD=．∵∠DBM=∠DOC=90°，∠BDM=∠ODC，∴△BDM∽△ODC，∴，即，∴DM=，∴OM=，∴M（，0），∴直线PB的解析式为y=－2x+7．由得： ， ，∴P（，6）．

综上可知：点P的坐标为（，－1）或（，6）．

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