Question

【题目】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断△ABC的形状： ；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

Answer 1

【答案】(1)、等边三角形；(2)、CP=BP+AP；证明过程见解析；(3)、当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，最大值为.

【解析】

试题分析：(1)、根据三角形的判定得出等边三角形；(2)、在PC上截取PD=AP，得出△APD是等边三角形，然后证明△APB和△ADC全等，从而得出BP=CD，然后得出答案；(3)、将四边形的面积转化成△ABP和△ABC的面积之和，然后根据两个三角形同底，要使面积最大，则就需要满足高最大，则当CP是直径时最大.

试题解析：(1)、△ABC是等边三角形

(2)、在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD，又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP

(3)、当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．

理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵S△APE=ABPE，S△ABC=ABCF，∴S四边形APBC=AB（PE+CF），

当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB=， ∴S四边形APBC=×2×=．