Question

【题目】如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点.

(1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).

(2)求PA+PB的最小值.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；(2)2.

【解析】试题分析：(1)画出A点关于MN的称点A′,连接A′B,就可以得到P点；

(2)利用∠AMN=30°得∠AON=∠A′ON=60°，又B为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠A′OB=90°，再求最小值2．

试题解析：

(1)如图，点P即为所求作的点.

(2)由（1）可知，PA+PB的最小值为 A′B的长，

连接OA′,OB、OA，

∵A点关于MN的称点A′，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=60°，

又∵B为的中点

∴ ，

∴∠BON=∠AOB=∠AON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵MN=4，

∴ OA′=OB= MN=2，

在Rt△A′OB中，A′B==2 ，

即PA+PB的最小值为2.