Question

【题目】如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．

Answer 1

【答案】1+．

【解析】

作CH⊥AB于H．首先证明BC=BC，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PB、PC.

作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，

∴AB=2BH=2BCcos30°=BC，

∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，

∴，

∵PA=，

∴PB=1，PC=，

∴PB+PC=1+．

故答案为1+．