Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x﹣1分别交x轴、y轴于点A、B，在第二象限内有一边长为2的正方形CDEF，已知C（﹣1，1），若动点P从C出发以每秒1个单位的速度沿着正方形CDEF的边逆时针运动一周（到达C点后停止运动），设P点运动的时间为t秒．

（1）是否存在t，使得以P为圆心，为半径的圆与直线AB相切？若存在，求出所有t的值；若存在，请说明理由．

（2）在点P运动的同时，直线AB以每秒1个单位的速度向右作匀速运动（与点P同时停止）是否存在t，使得以P为圆心，为半径的圆与平移后的直线A′B′相切？请直接写出所有t的值．

Answer 1

【答案】（1）满足条件的t的值为1或4．（2）满足条件的t的值为或或．

【解析】

(1) 设存在点P．作PH⊥AB，PM⊥x轴交AB于Q,可证△PHQ∽△AOB，可得PQ=，分点P在CD上时，与当点P在DE上时讨论，可得t的值；

（2）由题意平移后可得直线A′B′的解析式为，作PH⊥A′B′，PM⊥x轴交A′B′于Q．当PH=时，同法可得PQ=，分①当点P在CD上时，②当点P在DE上时，

③当点P在EF上时，三种情况讨论，可的t的值.

解：（1）假设存在点P．作PH⊥AB，PM⊥x轴交AB于Q．

∵PQ∥y轴，

∴∠OBA=∠PQH，

∵∠AOB=∠PHQ=Rt∠，

∴△PHQ∽△AOB，

∴=，

∵A（﹣1，2）或（﹣3，3），PH=，

∴AO=2，AB=，

∴PQ=，

①当点P在CD上时，t+1+=，解得t=1，

②当点P在DE上时，3﹣[﹣（1﹣t）﹣1]=，解得t=4，此时点P与E重合．

综上所述，满足条件的t的值为1或4．

（2）由题意平移后的直线A′B′的解析式为y=﹣x﹣1+，

作PH⊥A′B′，PM⊥x轴交A′B′于Q．

当PH=时，同法可得PQ=，

①当点P在CD上时，1+t﹣（﹣1+）=，解得t=，

②当点P在DE上时，3﹣[﹣（1﹣t）﹣1+]=，解得t=，

③当点P在EF上时，﹣1+﹣（6﹣t+1）=，解得t=，

综上所述，满足条件的t的值为或或．