Question

【题目】运用“同一个图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高BD=h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB的距离ME=h1，M到腰AC的距离MF=h2．

（1）请你结合图形1来证明：h1+h2=h；

（2）当点M在BC的延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论，请你在图2中画出图形；

（3）请利用以上结论解答下列问题，如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）h1+h2=h；（2）h1﹣h2=h，图详见解析；（3）点M的坐标为M（，2）或（﹣，4）．

【解析】

（1）根据S△ABC=S△ABM+S△AMC即可求出答案；

（2）h1-h2=h；

（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，h1=1＜h，不存在；

（1）连接AM，由题意得h1=ME，h2=MF，h=BD，

∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，

S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，

又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，AB=AC，

∴×AC×h=×AB×h1+ ×AC×h2，

∴h1+h2=h．

（2）如图所示：

h1﹣h2=h．

（3）在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，

所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．

AB==5，AC=5，所以AB=AC，

即△ABC为等腰三角形．

①当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：1+My=OB，My=3﹣1=2，

把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=，

所以此时M（，2）．

②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2=h得：My﹣1=OB，My=3+1=4，

把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=﹣，

所以此时M（﹣，4）．

③当点M在BC的延长线上时，h1=1＜h，不存在；

综上所述：点M的坐标为M（，2）或（﹣，4）．