Question

【题目】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，连接和.

（1）求证：四边形为菱形.

（2）若，，求菱形的周长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）20

【解析】

（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出：△AEO≌△CFO；根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；

（2）设菱形的边长为由题意得：，，，再利用勾股定理进行计算即可解答.

（1）∵四边形为矩形，

∴，

∴，

又∵是的垂直平分线，

∴，，

在和中，，

∴∴

∵，∴四边形为平行四边形.

∵.∴四边形为菱形

（2）解：设菱形的边长为由题意得：，.

又∵，，∴，

∵四边形为矩形，

∴，

在中，由勾股定理得：

又∵，，，

∴，解得.

∴菱形的周长=5×4=20