Question

【题目】如图所示，有若干边长为1的正方形卡片，第1次并排摆2张黑色卡片，铺成一个长方形；第2次在黑色卡片上方和右侧摆白色卡片，所有卡片铺成了一个较大的长方形；第3次继续在白色卡片上方和右侧摆黑色卡片，所有卡片铺成了一个更大的长方形；以此类推，请解决以下问题：

（1）仅第10次要用去______张卡片,摆完第10次后，总共用去_______张卡片.

（2）你知道 2+4+6+8+……+2n的结果是多少吗？写出结果，结合图形规律说明你的理由.

（3）求出从第51次至第100次所摆卡片的数量之和.

Answer 1

【答案】（1）20，110；（2）2+4+6+8+……+2n= n(n+1)；（3）从第51次至第100次所摆卡片的数量之和7550.

【解析】

（1）观察图形可知：第1次共用去卡片2张，可以看成水平方向1张，竖直方向1张；第2次共用去卡片4张，可以看成水平方向2张，竖直方向2张；依次类推，可得：第n次共用去卡片2n张，可以看成水平方向n张，竖直方向n张.由此得到第10次共用去卡片20张，前10次共用去的卡片=2(1+2+3+……+9+10)，计算即可.

（2）根据2+4+6+8+……+2n表示摆完第n次后共用去的卡片数.由图形可知：这些卡片共有n(n+1)张，即可得到结论；

（3） 用前100次用去的卡片数－前50次共用去的卡片数即可得到结论.

（1）观察图形可知：第1次共用去卡片2张，可以看成水平方向1张，竖直方向1张；

第2次共用去卡片4张，可以看成水平方向2张，竖直方向2张；

第3次共用去卡片6张，可以看成水平方向3张，竖直方向3张；

……

第n次共用去卡片2n张，可以看成水平方向n张，竖直方向n张.

由此得到第10次共用去卡片20张，前10次共用去卡片=2(1+2+3+……+9+10)==110.

故答案为：20，110.

（2）2+4+6+8+……+2n=n(n+1).

因为2+4+6+8+……+2n表示摆完第n次后共用去的卡片数.

根据图形可知：这些卡片共有n(n+1)张，

所以2+4+6+8+……+2n= n(n+1).

（3） 摆完第50次共用去50×(50+1)块卡片；

摆完第100次共用去100×(100+1)块卡片；

从第51次至第100次所摆卡片的数量之和为：

100×(100+1)-50×(50+1)=7550.

答：从第51次至第100次所摆卡片的数量之和7550.