Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，边长为5，D为AC边上一动点，连接BD，⊙O为△ABD的外接圆，过点A作AE∥BC交⊙O于E，连接DE，则△BDE的面积的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图所示：连接BE，

∵等边三角形ABC，

∴∠1=∠C=60°，

∵AE∥BC，

∴∠CAE+∠C=180°，

∴∠CAE=∠1+∠2=180°﹣∠C=120°，

∴∠1=∠2=60°，

∵∠1=4；∠2=∠3（同弧圆周角相等），

∴∠3=∠4=∠1=∠2=60°，

∴△BDE是等边三角形；

当⊙O的半径最小时△BDE的面积的最小，当AB是⊙O的直径时，⊙O的半径最小= AB= ，

此时BD⊥AC，

∴DE=BD=ABsin∠1=5× = ，

∴△BDE的面积的最小值= × × × = ．

所以答案是 ．

【考点精析】掌握等边三角形的性质和三角形的外接圆与外心是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心．