Question

【题目】如图，△ABC 中，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD与CE交于点O．BD=CE

（1）问△ABC为等腰三角形吗？为什么？

（2）问点O在∠A的平分线上吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）是，理由参见解析；（2）在，理由参见解析．

【解析】

（1）利用HL证明Rt△BCE≌Rt△DCB，由全等得到∠ABC=∠ACB，从而得到AB=AC，可知△ABC为等腰三角形；

（2）由Rt△BCE≌Rt△DCB，得到BE=CD，再利用AAS证明△EOB≌△DOC，从而得到OE=OD，又因为BD、CE分别是AC、AB上的高，所以OE⊥AB，OD⊥AC，根据角平分线的判定定理可知点O在∠A的平分线上．

（1）BD、CE分别是AC、AB上的高，

∠CEB=∠BDC=90°

又BD=CE，BC=CB，

Rt△BCE≌Rt△DCB（HL），

∠ABC=∠ACB（全等三角形对应角相等）

AB=AC（等角对等边），

△ABC为等腰三角形；

（2）Rt△BCE≌Rt△DCB，

BE=CD（全等三角形对应边相等），

在△EOB和△DOC中，∠EOB=∠DOC，∠OEB=∠ODC=90°，

△EOB≌△DOC（AAS），

OE=OD，

OE⊥AB，OD⊥AC，根据角平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）可知点O在∠A的平分线上．