Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H．动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动．过点E作EF⊥AB，垂足为点F．点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．

（1）CE= （含t的代数式表示）．

（2）求点G落在线段AC上时t的值．

（3）当S＞0时，求S与t之间的函数关系式．

（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当＜t≤2时，S=t2+t-3；当2＜t≤3时，S=-t2+t-；（4）＜t＜．

【解析】

试题分析: （1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；

（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GE=EF=BEsin60°=t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CE==t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；

（3）分两种情况：①当＜t≤2时，S=△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；

②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；

（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．

试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=AB=6，

∴CE=BC-BE=6-2t；

（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵△EFG是等边三角形，

∴∠GEF=60°，GE=EF=BEsin60°=t，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°-60°=30°，

∴∠GEB=90°，

∴∠GEC=90°，

∴CE==t，

∵BE+CE=BC，

∴2t+t=6，

解得：t=2；

（3）分两种情况：①当＜t≤2时，如图2所示：

S=△EFG的面积-△NFN的面积=××（t）2-××（-+2）2=t2+t-3，

即S=t2+t-3；

当2＜t≤3时，如图3所示：

S=t2+t-3-（3t-6）2，

即S=-t2+t-；

（4）∵AH=ABsin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，

∴t=时，点P与H重合，E与H重合，

∴点P在△EFG内部时，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），

解得：＜t＜；

即点P在△EFG内部时t的取值范围为：＜t＜．