Question

【题目】如图，△ABC中，CE和CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACD，一动点O在AC上运动，过点O作BD的平行线与∠ACB和∠ACD的角平分线分别交于点E和点F．

（1）求证：当点O运动到什么位置时，四边形AECF为矩形，说明理由；

（2）在第（1）题的基础上，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当点O运动到AC的中点位置时，四边形AECF为矩形，理由见解析；（2）当△ABC为直角三角形时，四边形AECF为正方形，理由见解析.

【解析】

（1）利用角平分线的性质以及平行线的性质得出OE=OF，即可得出结论；

（2）证出EF⊥AC，即可得出结论．

（1）证明：当点O运动到AC的中点位置时，四边形AECF为矩形；理由如下：

∵O为AC中点，

∴OA=OC，

∵EF∥BD，

∴∠CEO=∠ECB，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACE，

∴∠CEO=∠ECO，

∴OE=OC，

同理可证，OC=OF，

∴OE=OF，

∴四边形AECF为平行四边形，

又∵EF=2OE，AC=2OC，

∴EF=AC，

∴四边形AECF为矩形；

（2）解：当△ABC为直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF为正方形；

理由如下：

∵EF∥BD，∠ACB=90°，

∴∠AOE=90°，

∴EF⊥AC，

∵四边形AECF为矩形，

∴四边形AECF为正方形．