Question

【题目】如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．

（1）求证：AE＝CD；

（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE≌△CBD即可得出结论；

（2）根据△ABE≌△CBD，可得AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，再根据点P、Q分别是AE、CD的中点和SAS即可证明△ABP≌△CBQ，从而得∠PBA＝∠QBC，PB＝QB，进一步即可推得∠QBP＝∠ABC＝60°，由此可判断△PBQ的形状.

（1）证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，

∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴AE＝CD．

（2）解：△PBQ是等边三角形．

证明如下：由（1）证明可知：△ABE≌△CBD，

∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，

∵点P、Q分别是AE、CD的中点，

∴AP＝AE，CQ＝CD，∴AP＝CQ，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴∠PBA＝∠QBC，PB＝QB，

∴∠QBP＝∠PBC+∠QBC＝∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴△PBQ是等边三角形．