Question

【题目】如图①，AB是⊙O的一条弦，点C是优弧上一点．

（1）若∠ACB=45°，点P是⊙O上一点（不与A、B重合），则∠APB= ；

（2）如图②，若点P是弦AB与所围成的弓形区域（不含弦AB与）内一点．求证：∠APB＞∠ACB；

（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．

Answer 1

【答案】（1）45°或135°；（2）∠APB＞∠ACB；（3）图见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知，存在两种情况，针对两种情况，可以画出相应的图形，由题目中的信息和同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，可以分别求得两种情况下∠APB的度数，本题得以解决；

（2）根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决；

（3）根据题意和第（2）问，可以画出满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围，本题得以解决．

试题解析：（1）解：如图①所示，

根据题意可分两种情况，

第一种情况，当点P在P1时，

可知，∠AP1B=∠ACB=45°；

第二种情况，当点P在P2时，

∵四边形ACBP2是圆内接四边形，

∴∠AP2B+∠ACB=180°，

∵∠ACB=45°，

∴∠AP2B=135°，

故答案为：45°或135°；

（2）证明：如下图②所示，延长AP交⊙O于点Q，连接BQ．

则∠PQB=∠ACB，

∵∠APB为△PQB的一个外角，

∴∠APB＞∠PQB，

即∠APB＞∠ACB；

（3）点P所在的范围如下图③所示，