Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°，过C作⊙O的切线l，与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F．

（1）求证：AC平分∠FAD；
（2）已知AF=3 ，求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

连接OC，

∵EF切⊙O于点C，

∴OC⊥EF，

∵AF⊥EF，

∴OC∥AF，

∴∠FAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠FAC=∠CAO，

∴AC平分∠FAD

（2）解：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠CAD=30°=∠FAC，

∴∠E=30°，

∵AF=3 ，

∴FC=AF×tan30°=3，

∴AC=2FC=6，

∴CA=CE=6，

∵∠OCE=90°，

∴OC=CE×tan30°=2 ，

∴S阴影=S△OCE﹣S扇形COD= ﹣ =6 ﹣2π

【解析】已知圆的切线，辅助线的添加方法是连半径，（1）连接OC得OC⊥EF，先证明OC∥AF，再证明得∠FAC=∠CAO，即可得出AC平分∠FAD
（2）观察图形，可知S阴影=S△OCE﹣S扇形COD。先在Rt△ACF中，求出AC的长，再证明AC=CE，易得∠E=30°，就可以求出△OCE、扇形OCD的面积，然后去很粗阴影部分的面积。
【考点精析】关于本题考查的切线的性质定理和扇形面积计算公式，需要了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能得出正确答案．