Question

【题目】操作探究：

数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

探究：

（1）若∠1=70°，∠MKN= °；

（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是 三角形，请说明理由；

应用：

（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为 °

（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．

Answer 1

【答案】(1)、40；(2)、等腰；(3)、45°或135°(4)、最大值为1.3．

【解析】

试题分析：（1）、根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；

(2)、利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；(3)、利用当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°；(4)、分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．

试题解析：（1）、如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°， ∴∠MKN=40°．

(2)、等腰， 理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND， ∵将纸片沿MN折叠， BGFYTTTQ ∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，

∴KM=KN；

(3)、如图2，当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B′M， ∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，

∴∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°，

(4)、分两种情况：

情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合． MK=MB=x，则AM=5﹣x．

由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6． S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3．

情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC． MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x．

同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1， ∴S△MNK=×1×2.6=1.3． △MNK的面积最大值为1.3．