Question

【题目】已知，如图,抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1，0)，OC＝3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

(3)若点E在轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式

（2）四边形ABCD面积有最大值为；

（3）存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－2，－3)， ，

【解析】试题分析：(1)、根据题意得出点B和点C的坐标，然后代入函数解析式求出答案；(2)、首先根据点A和点C的坐标得出直线AC的解析式，然后过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，设点M的坐标为(m，－m－3)，从而得出点D的坐标，求出DM的长度，根据二次函数的性质求出DM的最大值，得出面积的最大值；(3)、①、过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，，将C(0，－3)代入函数解析式求出点P的坐标；②、平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，设出点P的坐标为(x，3)，然后代入函数解析式求出点P的坐标.

试题解析：(1)、∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)． 把点B，C的坐标代入，得

∴抛物线的解析式

(2)、由A（－3,0），C(0，－3)得直线AC的解析式为，

如图，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N.

设M则D，

∴-1＜0，∴当x＝时，DM有最大值∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

此时四边形ABCD面积有最大值为.

(3)、存在

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，

此时四边形ACP1E1为平行四边形． ∵C(0，－3)，令

∴， .∴P1(－2，－3)．

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)， ，得解得，

此时存在点,

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－2，－3)，