Question

【题目】如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；

（2）若△ACD的面积为3．

①求抛物线的解析式；

②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣1，﹣4a）；（2）①，②或

【解析】

试题分析：

（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是﹣3和1，设抛物线解析式的交点式，再配方为顶点式，可确定顶点坐标。

（2）①设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式.

②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=.设抛物线向右平移后的抛物线解析式为，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=1.分两种情况进行讨论：

（Ⅰ）如图2①，F点的坐标为（0，1），（Ⅱ）如图2②，F点的坐标为（0，﹣1）．

针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式.　

试题解析：

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），

∴抛物线解析式为，

∵，

∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）.

（2）①如图1，设AC与抛物线对称轴的交点为E，

∵抛物线与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，﹣3a）.

设直线AC的解析式为：，

则：，解得：.

∴直线AC的解析式为：.

∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a）.∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a.

∴.

∴﹣3a=3，解得a=﹣1.

∴抛物线的解析式为.

②∵，∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3）.

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，

AC2=（0+3）2+（3﹣0）2=18.

∴AD2=CD2+AC2。∴∠ACD=90°.

∴.

∵∠PAB=∠DAC，∴tan∠PAB=tan∠DAC=.

如图2，设向右平移后的抛物线解析式为，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F，

∵，

∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）.

分两种情况：

（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为，

由解得，，（舍去）.

∴P点坐标为（，）。

将P点坐标（，）代入，

得，解得，（舍去）.

∴平移后抛物线的解析式为.

（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为.

由，解得:，（舍去）.

∴P点坐标为（，）.

将P点坐标（，）代入，

得，解得，（舍去）.

∴平移后抛物线的解析式为.

综上可知，平移后抛物线的解析式为或.