Question

【题目】如图，四边形ABCD是长方形，∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB∥CD，AD∥BC，E是边AD上一动点.

(1)若∠ECD=2∠ECB，求∠AEC的度数.

(2)若∠ABD=70°，△DEF是等腰三角形，求∠ECB的度数.

(3)若△EFD的面积为4，若△DCF的面积为6，则四边形ABFE的面积为_______.

Answer 1

【答案】(1)∠AEC=150°；(2)20°或80°；(3)11.

【解析】

(1)由∠ECD=2∠ECB和∠BCD=90°可得：∠ECD＝60o,∠BCE=30o,再由平行线的性质可得到∠AEC=150°；

(2)由∠ABD＝70o得到∠ADB＝20o,当EF＝DF时，∠DEF＝20o；当DE＝DF时，∠DEF＝80o,再由平行线的性质得到∠ECB＝∠DEF;

(3) 由在矩形ABCD中，△EFD的面积为4，△FCD的面积为6，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得EF：FEC，易得△DEF∽△BEC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得△BFC的面积，继而求得答案．

（1）∵∠ECD=2∠ECB和∠BCD=90°，

∴∠ECD＝60o,∠BCE=30o,

又∵AD//BC,

∴∠AEC+∠BCE=180o,

∴∠AEC=150°；

（2）∵∠ABD＝70o,∠A=90o,

∴∠ADB=20o,

又∵△DEF是等腰三角形，

∴DE＝DF或EF＝DF，

当EF＝DF时，∠FED＝∠EDF＝20o,

当DE＝DF时，∠DEF＝80o,

又∵AD//BC,

∴∠EBC=∠DEF,

∴∠EBC=20o或80o；

(3) ∵△EFD的面积为4，△FECD的面积为6，
∴EF：FC=4：6=2：3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△BFC，
∴S△DEF：S△BFC=（）2=4：9，
∴S△BFC=9，
∴S△ABD=S△BCD=S△BFC+S△CDE=15，
∴S阴影=S△ABD-S△DEF=15-4=11．