Question

【题目】如图1，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．

（1）试判断四边形的形状，并证明你的结论；

（2）如图2，依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，……以此类推，取，，，的中点，，，，根据信息填空：

①四边形的面积是__________；

②若四边形的面积为，则________；

③试用表示四边形的面积___________．

Answer 1

【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③

【解析】

（1）根据中位线定理，得出四边形是平行四边形，再根据可判断四边形为矩形；

（2）①根据题意算出A1B1=3，A1D1=5，可得四边形的面积；

②根据题意算出A2D2= B2C2= C2D2=B2A2=，可得四边形为菱形，得出四边形的面积，以此类推得出=，令=，解出n即可；

③由②可得结果；

解：（1）四边形是矩形，

证明：∵，，，分别是四边形各边的中点，

∴，，

∴，

同理可得，

∴四边形是平行四边形，

又∵，
易得，

∴四边形是矩形；

（2）①由题意可知：A1B1=AC=3，A1D1=BD=5，

四边形的面积=3×5=15；

②由构图过程可得：A2D2=B2C2=B1D1==，C2D2=B2A2=A1C1==，

可知四边形为菱形，

∴===；

同理可求：=，=，…，=，

故当四边形的面积为时，=，

解得：n=5；

③由②可知：用表示四边形的面积为.