Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D,E,F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，连接CG，∠ABE=∠CBE.

（1）求证：BH=AC；

（2）若BG=5，GE=4，求线段AE的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3.

【解析】

（1）由已知条件易得∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，结合∠ABC=45°，可得∠BCD=∠ABC，由此可得BD=CD，再证得∠DBH=∠DCA即可证得△DBH≌△DCA，由此即可得到BH=AC；

（2）由F是BC的中点，结合（1）中所得BD=CD可得DF是BC的垂直平分线，由此可得BG=CG，结合∠BEC=90°在Rt△CGE中由勾股定理即可求得CE=3，然后再证△ABE≌△CBE，即可得到AE=CE=3.

（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC =∠BEC=∠CDA=90°,

∴∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠DCA，

∵∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，

∴DB=DC，

∵在△DBH和△DCA中，

∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，

∴△DBH≌△DCA，

∴BH=AC.

（2）∵F为BC的中点，DB=DC，

∴DF垂直平分BC，

∴CG=BG=5，

∵在Rt△CGE中，∠GEC=90°，CG=5，GE=4，

∴CE=，

∵BE⊥AC，

∴∠BEC=∠BEA=90°，

又∵BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE=CE=3.