Question

【题目】在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）AD=CF，理由见解析；（2）CF=．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．

解：（1）AD=CF．

理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，

即∠AOD=∠COF，

在△AOD和△COF中，，

∴△AOD≌△COF（SAS），

∴AD=CF；

（2）与（1）同理求出CF=AD，

如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，

∵正方形ODEF的边长为，

∴OE=OD=×=2，

∴DG=OG=OE=×2=1，

∴AG=AO+OG=3+1=4，

在Rt△ADG中，AD===，

∴CF=AD=．