Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1 ， 则∠A1=；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2 ， 得∠A2；…；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An ， 要使∠An的度数为整数，则n的值最大为 ．

Answer 1

【答案】32°；6
【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1 ，
∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠A1BC，
∴∠A1= ∠A= 64°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1 ，
∴∠A1= ∠A，
同理可得∠A1=2∠A2 ，
∴∠A2= ∠A，
∴∠A=2n∠An ，
∴∠An=（ ）n∠A= ，
∵∠An的度数为整数，
∵n=6．
故答案为：32°，6．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD，然后整理得到∠A1= ∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1 ， 同理可得∠A1=2∠A2 ， 即∠A=22∠A2 ， 因此找出规律．