Question

【题目】如图，点，过点做直线平行于轴，点关于直线对称点为．

（1）求点的坐标；

（2）点在直线上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在直线上，求点的坐标和直线的解析式；

（3）设点在直线上，点在直线上，当为等边三角形时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）A（1，）；直线BD为；（3）点P的坐标为（，）或（，）.

【解析】

（1）根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；

（2）由折叠的性质，得AB=CB，BD=AD，根据勾股定理先求出AM的长度，设点D为（1，a），利用勾股定理构造方程，即可求出点D坐标，然后利用待定系数法求直线BD.

（3）分两种情形：如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．证明点P在AC的垂直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可．如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，构建方程组解决问题即可．

解：（1）根据题意，

∵点B、C关于点M对称，且点B、M、C都在x轴上，

又点B（），点M（1，0），

∴点C为（3，0）；

（2）如图：

由折叠的性质，得：AB=CB=4，AD=CD=BD，

∵BM=2，∠AMB=90°，

∴，

∴点A的坐标为：（1，）；

设点D为（1，a），则DM=a，BD=AD=，

在Rt△BDM中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴点D的坐标为：（1，）；

设直线BD为，则

，解得：，

∴直线BD为：；

（3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．

∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，

∴∠ACB=∠PCQ=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵CA=CB，CP=CQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP=BQ，

∵AD垂直平分线段BC，

∴QC=QB，

∴PA=PC，

∴点P在AC的垂直平分线上，

由，解得，

∴P（，）．

如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，

∴∠CAQ=∠CBP=30°，

∵B（-1，0），

∴直线PB的解析式为，

由，解得：，

∴P（，）.