Question

【题目】如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（　）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】∵BD为∠ABC的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

又BD=BC，BA=BE，

∴∠BCD= (180°∠CBE)，∠BEA= (180°∠ABE)，即∠BCD=∠BEA，

又∠BDC=∠ADE，

∴△ADE∽△BCD，

∴，∠DAE=∠CBE，

∴∠ABE=∠DAE，

又∠ADB=∠EDC，

∴△ADB∽△EDC，

∴∠ACE=∠ABE，故选项①正确；

∴A、B. C.E四点共圆，

∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，

∴∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；

∴∠DAE=∠ACE，

∴AE=EC，故选项③正确；

过E作BC延长线的垂线，垂足为M，如图所示：

∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，

∴∠BAE=∠ECM，

又BE为∠ABC平分线，EF⊥AB，EM⊥BM，

∴EF=EM，

在△AEF和△CEM中， ，

∴△AEF≌△CEM(AAS)，

∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，

则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，

故选项④正确，

则其中正确的是①②③④.

故选：D.