Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．

（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图①，

∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，

∴∠DAC=90°，

在△ABE与△ACD中

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴CD=BE，

∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，

∴BE=2AF，

∴CD=2AF．

（2）

成立，

证明：如图②，

延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠EAB+∠DAC=180°，

∵∠EAB+∠BAH=180°，

∴∠DAC=∠BAH，

在△ABH与△ACD中，

∴△ABH≌△ACD（SAS）

∴BH=DC，

∵AD=AE，AH=AD，

∴AE=AH，

∵EF=FB，

∴BH=2AF，

∴CD=2AF

【解析】（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．